Relatividade geral

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Einstein, autor da teoria da relatividade, em 11 de fevereiro
de 1948

Em Física, a relatividade
geral é a generalização da Teoria da gravitação de Newton, publicada em 1915 por Albert Einstein e cuja
base matemática foi desenvolvida pelo cientista francês Henri Poincaré. A
nova teoria leva em consideração as idéias descobertas na Relatividade
restrita sobre o espaço e o tempo e propõe a generalização do princípio da
relatividade do movimento de referenciais em movimento uniforme para a
relatividade do movimento mesmo entre referenciais em movimento acelerado. Esta
generalização tem implicações profundas no nosso conhecimento do espaço-tempo,
levando, entre outras conclusões, à de que a matéria (energia) curva o espaço e
o tempo à sua volta. Isto é, a gravitação é um efeito da geometria do espaço-tempo.

Índice

1 Preliminares
conceituais

2 O Princípio da Relatividade
Geral

3 A ligação com a
geometria

3.1 Geometria do
espaço-tempo

3.2 Curvatura do
espaço-tempo

4 Matemática da Relatividade
Geral

5 Soluções da Equação de
Einstein

6 Referências

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Preliminares conceituais

Uma das descobertas mais importantes do século XX, feita por
Einstein, é a de que podemos apresentar as leis da Física na forma de uma geometria
quadridimensional, em que o tempo é uma dimensão adicional às três dimensões
espaciais a que estamos habituados.

Das idéias que levaram à Relatividade restrita, sem dúvida a mais importante
para se entender o papel da gravitação na Física é a idéia, chamada de
princípio da relatividade, de que as leis da física devem ser escritas da
mesma forma em qualquer referencial
inercial. Este princípio deve ser obedecido por qualquer lei da Física que
venha a ser expressa nesse contexto.

Einstein supôs que a gravidade, devido ao princípio da equivalência entre massa
inercial e gravitacional,
seria um tipo de força inercial, isto é, do tipo que aparece em sistemas não
inerciais (em movimento acelerado), como, por exemplo, a força centrífuga em um
carrossel, ou a força que o empurra para trás durante a aceleração de um
trem.

Com esta idéia em mente, e generalizando a idéia da Relatividade restrita,
Einstein propôs que:

As leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquer sistema
de coordenadas, em movimento uniforme ou não.

É por esta via da covariância sob mudança de coordenadas generalizadas que a
gravitação se acopla ao eletromagnetismo e à mecânica
clássica, para os quais foi direcionado o desenvolvimento inicial da
Relatividade restrita.

Laboratórios em órbita ou em queda livre são o que temos na Terra de mais
próximo de um referencial localmente inercial. Portanto, se for necessário
realizar um experimento em um local livre de forças externas, há duas opções na
Terra: entrar em um avião, subir até algumas dezenas de quilômetros de altura e
deixar-se cair em queda livre (dentro de um avião, num vôo parabólico), ou usar
qualquer uma estação espacial em órbita.

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O Princípio da Relatividade Geral

O postulado base da Teoria da Relatividade Geral, chamado de Princípio da
Equivalência, especifica que sistemas acelerados e sistemas submetidos a
campos gravitacionais são fisicamente equivalentes. Nas próprias palavras de
Einstein em seu trabalho de 1915:

Nós iremos portanto assumir a completa equivalência física entre um
campo gravitacional e a correspondente aceleração de um sistema de referência.
Esta hipótese estende o princípio da relatividade especial para sistemas de
referência uniformemente acelerados.

Por esse princípio, uma pessoa numa sala fechada, acelerada por um foguete
com a mesma aceleração que a da gravidade na Terra (9,78m / s2), não poderia
descobrir se a força que a prende ao chão tem origem no campo gravitacional
terrestre ou se é devida à aceleração da própria sala através do espaço e
vice-versa. Uma pessoa em uma sala em órbita ou queda livre em
direção a um planeta não saberá dizer por observação local se se encontra em
órbita ao redor de um planeta ou no espaço profundo, longe de qualquer corpo
celeste. Esse experimento mental é conhecido na literatura como o elevador de
Einstein.

Esse princípio é válido apenas para vizinhanças pequenas do ponto
considerado, e determina o chamado referencial localmente inercial
através de uma lei de transformação entre o referencial do observador (genérico)
e um em que a Física se assemelha àquela da Relatividade
restrita.

Uma conseqüência importante do Princípio da Equivalência é a identificação
entre os conceitos de massa inercial e massa gravitacional. Embora
isso pareça óbvio, conceitualmente elas são distintas. A massa inercial é aquela
expressa na segunda lei de
Newton, ,
e corresponde à resistência dos corpos em mudar seu estado de movimento
relativo. A massa gravitacional é aquela da lei da
gravitação universal de Newton, e corresponde à capacidade que um corpo tem
de atrair outro. Identificando um referencial acelerado a uma força
gravitacional, esses conceitos se confundem, e as massas se tornam a mesma
entidade. A diferença medida experimentalmente entre elas é inferior, em
proporção, a 10 − 9.

O Princípio da Equivalência tem, portanto, como principal conseqüência, a
equivalência entre massa gravitacional e inercial.

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A ligação com a geometria

O Princípio da Equivalência põe em pé de igualdade todos os referenciais. Uma
conseqüência disso é que um observador movendo-se livremente em seu referencial
pode ver-se em um estado de movimento diferente do visto por um observador em
outro ponto do espaço. Voltando ao exemplo do elevador: um observador dentro de
uma nave espacial em órbita se vê completamente livre de forças inerciais, o que
para ele significa que o seu referencial é localmente inercial (em repouso, ou
movendo-se uniformemente, segundo a primeira lei de
Newton. Um observador na Terra constata que a nave não está em movimento
retilíneo, mas em órbita ao redor da Terra.

A maneira de se lidar com essas diferenças é escrever em um referencial
genérico a equação de movimento observada no referencial localmente inercial,
através da equação que determina a transformação de referenciais.

No referencial localmente inercial, não há acelerações nas trajetórias das
partículas, o que significa:

onde μ é um índice que varia de 0 a 3, sendo x0 a coordenada do tempo, e x1, x2 e x3 as coordenadas espaciais, e τ é o tempo próprio do
referencial.

A equação que rege a mudança de referenciais é genericamente escrita
como:

que corresponde ao jacobiano associado à mudança
de coordenadas.

Aplicando essa lei de transformação na equação de movimento, resulta:

Essa é a equação da geodésica, que nada mais é do que a equação de
movimento de um corpo em um referencial genérico. Ou seja, se em um referencial
localmente inercial um corpo executa movimento
retilíneo uniforme, em um referencial genérico o mesmo corpo percorrerá ao
longo do espaço-tempo uma curva chamada de geodésica, que não
necessariamente é uma linha reta nesse referencial.

O objeto
que aparece na equação da geodésica é chamado de conexão, e representa
uma medida de quanto um dado referencial não é inercial. Nos referenciais
inerciais as conexões são sempre iguais a zero.

Assim, uma vez que as geodésicas são
diferentes, as geometrias do espaço-tempo nos
dois casos são diferentes. Isso é uma característica puramente geométrica do
espaço-tempo, que deve ser expressa em função apenas das suas propriedades.

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Geometria do espaço-tempo

Geodésica no espaço-tempo de uma partícula parada em um ponto
do plano x-y

A idéia importante para se entender a fundo os conceitos básicos da
Relatividade geral é entender o que significa o movimento de um corpo neste
espaço-tempo de 4 dimensões. Não existe movimento espacial sem movimento
temporal. Isto é, no espaço-tempo não é possível a um corpo se mover nas
dimensões espaciais sem se deslocar no tempo. Mas mesmo quando não nos
movemos espacialmente, estamos nos movendo na dimensão temporal (no tempo).
Mesmo sentados em nossa cadeira lendo este artigo, estamos nos movendo no tempo,
para o futuro. Este movimento é tão válido na geometria do espaço-tempo quanto
os que estamos habituados a ver em nosso dia a dia. Portanto, no espaço-tempo
estamos sempre em movimento, e a nossa idéia de estar parado
significa apenas que encontramos uma forma de não nos deslocarmos nas direções
espaciais mas apenas no tempo (veja o exemplo deste tipo de geodésica na figura
ao lado).

Essa afirmação é importantíssima, e merece esclarecimentos. O motivo é
simples: no plano espacial, se um objeto se desloca de um ponto ao outro sem se
deslocar na direção temporal, a velocidade deste deslocamento será infinita, já
que a velocidade inclui um deslocamento pelo intervalo de tempo, que neste caso
seria zero. E da Teoria da Relatividade
especial sabe-se que a maior velocidade possível para algo material, no
nosso universo, é a velocidade da luz.
Portanto este resultado da Relatividade especial cria imediatamente no nosso
espaço-tempo duas regiões distintas: uma região a que podemos ter acesso
(chamada de tipo tempo), e regiões às quais não podemos ter acesso
imediato (chamadas de tipo espaço). Isto é uma característica diferente
da de um espaço de 4 dimensões qualquer, por exemplo, onde não temos restrição
alguma entre as regiões do espaço, nem uma direção especial.

A relatividade restrita, portanto, impõe sobre a geometria do espaço-tempo
uma restrição fundamental e diversa do que esperaríamos de um espaço euclidiano
de quatro dimensões, por exemplo. Esta diferença se reflete na estrutura básica
da geometria.

Podemos mostrar como estas diferenças se refletem na noção de distância, que
na Relatividade Especial é chamada de intervalo, para não evocar a mesma
idéia de distância euclidiana. Se quisermos medir a distância entre dois pontos
em um espaço de 3 dimensões, usamos a fórmula de
Pitágoras:

s2 = (x1 −
x2)2 + (y1 −
y2)2 + (z1 −
z2)2

Incluindo o tempo para termos o espaço-tempo, poderíamos imaginar uma fórmula
equivalente para a distância entre dois pontos:

s2 =
c2(t1 − t2)2
+ (x1 − x2)2 +
(y1 − y2)2 +
(z1 − z2)2

Note que tivemos o cuidado de multiplicar o termo temporal por c, a
velocidade da luz no vácuo, para termos um comprimento, uma vez que não faz
sentido somar tempo com distância. Para pontos muito próximos (lembre-se que
temos que manter nossa análise local para podermos garantir que estamos em um
referencial inercial), podemos escrever.

Mas isto não reflete a característica essencial do espaço-tempo que estamos
discutindo. A distância acima é simplesmente a distância em espaço euclidiano de
4 dimensões. O que sabemos é que as velocidades espaciais possíveis são sempre
menores que a velocidade da luz:

E isto, de certa forma, deve ser refletido pela geometria que estamos
procurando. E está, como iremos demonstrar. Elevando ao quadrado para eliminar o
módulo acima, e
reorganizando os termos, podemos escrever nossa restrição como:

Repare que a expressão acima é o equivalente matemático do que acabamos de
dizer: deslocamentos espaciais válidos devem ser menores que c dt
para que a velocidade do deslocamento seja menor que a da luz. Comparando esta
expressão com a da distância em um espaço
euclidiano, dada acima, vemos uma semelhança. Podemos entender agora que o
termo ds :

pode ser utilizado como definição para o cálculo de intervalos no
espaço-tempo.

Para completar, precisamos agora entender como esta medida de intervalos pode
ser generalizada para um sistema de coordenadas qualquer.

Em quatro dimensões, usando a notação de Einstein para somas de vetores,
podemos escrever o intervalo como sendo o seguinte:

ds2 =
gμνdxμdxν

que nada mais é do que o teorema de
Pitágoras generalizado a quatro dimensões. No caso da Relatividade
restrita, o tensor métrico gμν é dado pela seguinte matriz:

Na Relatividade geral, a presença de matéria e energia altera os termos dessa
matriz, alterando a métrica do espaço-tempo. É importante notar que a métrica é
uma característica do espaço-tempo e não do referencial. Assim, ela é
invariante para todos os referenciais.

Podemos assim determinar uma expressão para as conexões que depende
unicamente da métrica em cada ponto.

No entanto, para todo ponto no espaço-tempo podemos definir um referencial
localmente inercial, que tem a conexão igual a zero. Para medir precisamente a
diferença entre a geometria de um ponto a outro, é necessário que sejam
analisadas as derivadas das conexões.

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Curvatura do espaço-tempo

Geódesica no espaço-tempo de uma partícula próxima a um corpo
material

Imaginemos agora um observador no espaço profundo. Suponha que ele esteja
parado, isto é, em um movimento geodésico que é uma linha reta diretamente para
o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu lado uma massa
suficientemente grande, a deformação que esta massa causará no espaço-tempo em
sua vizinhança irá curvar e alterar as coordenadas originais do espaço-tempo no
local. O efeito é que aquele movimento que era apenas uma linha reta na direção
temporal agora passará a ocorrer também nas novas coordenadas espaciais. A linha
se curva e se enrola em torno do corpo enquanto ele se move na direção do tempo
futuro. E nosso observador começa a se mover espacialmente devido à distorção da
geometria causada pela massa, não devido à presença de uma força. Isto era o
efeito que se costuma chamar de gravidade mas que, à luz desta teoria, é uma
distorção da geometria do espaço-tempo devido à presença de uma massa.

Para ajudar a entender intuitivamente o conceito de curvatura do espaço-tempo por
um objecto massivo é comum usar-se uma analogia com a deformação causada por uma
bola pesada numa membrana elástica. (É evidentemente uma representação um tanto
«fantasiosa», pois mostra apenas a curvatura espacial de um espaço de duas
dimensões, sem levar em consideração o efeito do tempo.)

Uma analogia para a curvatura do espaço-tempo causada por uma
massa

Quanto maior for a massa do objecto maior será a curvatura da membrana. Se
colocarmos perto da cova criada um objecto mais leve, como uma bola de
ping-pong, ela cairá em direcção à bola maior. Se, em vez disso, atirarmos a
bola de ping-pong a uma velocidade adequada em direcção ao poço, ela ficará a
"orbitar" em torno da bola pesada, desde que o atrito seja pequeno. E isto é, de
algum modo, análogo ao que acontece quando a Lua orbita em torno da Terra, por
exemplo.

Na relatividade geral, os fenômenos que na mecânica clássica se considerava
serem o resultado da acção da força da gravidade, são entendidos como
representando um movimento inercial num espaço-tempo curvo. A massa da Terra
encurva o espaço-tempo e isso faz com que tenhamos tendência para cair em
direcção ao seu centro.

O ponto essencial é entender que não existe nenhuma «força da gravidade»
actuando à distância. Na relatividade geral, não existe acção à distância e a
gravidade não é uma força mas sim uma deformação geométria do espaço encurvado
pela presença nele de massa, energia ou momento. E uma geodésica é o caminho
mais curto entre dois pontos, numa determinada geometria. É a trajectória que
segue no espaço-tempo um objecto em queda livre, ou seja, livre da acção de
forças externas. Por isso, a trajectória orbital de um planeta em volta de uma
estrela é a projecção num espaço 3D de uma geodésica da geometria 4D do
espaço-tempo em torno da estrela.

Se os objectos tendem a cair em direcção ao solo é apenas devido à curvatura
do espaço-tempo causada pela Terra. Quando um objecto foi lançado no ar, ele
sobe e depois cai. Mas não é porque haja uma força a puxá-lo para baixo. Segundo
Einstein, o objecto segue apenas uma geodésica num espaço-tempo curvo. Quando
está no ar, não há nenhuma força a agir sobre ele, excepto a da resistência do
ar. Se o vemos a acelerar, é porque, quando estamos parados em cima do solo, a
nossa trajectória não segue uma «linha recta» (uma geodésica), porque há uma
força que age sobre nós: a força do solo a puxar-nos para cima. Aquilo a que
chamamos «força da gravidade» resulta apenas do facto de a superfície da Terra
nos impedir de cair em queda-livre segundo a linha geodésica que a curvatura do
espaço-tempo nos impõe. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» é apenas o
resultado de estarmos submetidos a uma aceleração física contínua causada pela
resistência mecânica da superfície da Terra. A sensação de peso que temos
resulta do facto da superfície da Terra nos «empurrar para cima».

Uma pessoa que cai de um telhado de uma casa não sente, durante a queda,
nenhuma força gravitacional. Sente-se «sem peso». Se largar um objecto, ele
flutuará a seu lado, exactamente com a mesma aceleração constante (na ausência
da resistência do ar).

Mas, como já se explicou, a analogia apresentada dificilmente se pode
considerar uma boa representação do que realmente acontece. O exemplo que
apresentamos anteriormente permite elucidar de um modo mais correcto a curvatura do
espaço-tempo, através de efeitos sobre as linhas geodésicas. Em cada ponto do
espaço disparamos ou apenas soltamos uma pequena massa de prova e observamos a
sua trajetória. De um ponto de seu referencial inercial dispare uma massa em
cada um dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas
continuarem indefinidamente em linha reta, você estará em um espaço-tempo plano (espaço de
Minkowski). Caso contrário, as trajetórias poderão lhe dar informações sobre
a curvatura na região. Esta é a melhor maneira pela qual podemos esperar
descrever um objeto que possui 4 dimensões para seres que vivem em apenas 3
dimensões.

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Matemática da Relatividade Geral

Para estender as leis da física para o contexto de sistemas de coordenadas
gerais, um extenso arsenal de ferramentas matemáticas deve ser dominado. Mesmo
antes do advento da Relatividade Geral, na mecânica
clássica, por exemplo, uma quantidade enorme de trabalhos foram
desenvolvidos para se trabalharem os sistemas físicos em diversos sistemas de
coordenadas: sistemas
de coordenadas cartesianos, esféricas,
cilíndricas,
etc. Apesar dos nomes, nenhum destes sistemas de coordenadas utilizados na Física
Matemática é geral o bastante para causar alteração na geometria. Eles são
formas de se aproveitarem as simetrias do problema e ajudam, portanto, a
simplificar a solução. Na Relatividade Geral precisamos estender este
conhecimento para transformações de coordenadas que alterem a geometria do
espaço-tempo. Para isto são necessárias uma síntese e uma generalização deste
conhecimento matemático em um novo cálculo, o Cálculo
Tensorial. Por sorte, esta síntese estava sendo criada pelo matemático Tullio
Levi-Civita, baseando-se nos trabalhos anteriores de Hamilton e Gregorio
Ricci-Curbastro, na mesma época em que Einstein iniciou seu trabalho na
Relatividade Geral. De fato, Einstein aprendeu os conceitos diretamente de
Levi-Civitta.

Com esta ferramenta nova, podemos generalizar o conceito de cálculo de
intervalos do espaço-tempo, introduzindo o tensor métrico para o
espaço-tempo:

ds2 =
gμνdxμdxν

A notação com índices, chamada notação clássica do cálculo
tensorial, possui a convenção de que índices repetidos, um superior e outro
inferior, representam uma soma no conjunto de índices. No nosso caso estes
índices variam de 0 até 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas
espaciais. Esta é a mesma expressão que obtivemos anteriormente se escrevermos o
tensor gij da Relatividade
Restrita de forma matricial como:

O ponto importante a se entender aqui é que, no espaço-tempo curvo, o tensor
métrico não possui mais seus elementos constantes como acima. Eles passam a ser
funções das coordenadas espaço-temporais que contêm informações sobre a
geometria local. Mesmo assim, a expressão para o cálculo de intervalos ainda
continua sendo escrita da mesma forma. E isto reflete a idéia básica do cálculo
tensorial: permitir escrever quaisquer equações independentemente do sistema de
coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peça fundamental da teoria da Relatividade Geral e é um
tensor simétrico, isto é gμν =
gνμ. Isto significa que em vez de termos 16 componentes
gμν, temos apenas 10
componentes independentes.

O tensor métrico possui informações não só sobre como se calculam as
distâncias, mas como se realizam outras operações geométricas em espaços curvos,
como o transporte paralelo
de vetores e outros objetos
matemáticos. É através dele que se obtém a expressão para a curvatura do espaço-tempo e se
obtém o Tensor
de Einstein, utilizado na equação da Relatividade Geral, que sumariza a
interação da geometria com a matéria:

onde Gμν é o tensor de Einstein,
Rμν são as componentes do Tensor de
curvatura de Ricci, R é a Curvatura
escalar, gμν são as componentes
do tensor métrico,
Λ é a Constante
cosmológica, Tμν são as
componentes do Tensor
de tensão-energia que descreve a matéria e energia em um dado ponto do
espaço-tempo e G é a Constante
de gravitação, a mesma da lei de Newton da
gravidade. O Tensor de Ricci e a Curvatura Escalar são derivados do tensor
métrico, como dito acima.

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Soluções da Equação de Einstein

Ver artigo principal: Equações
de campo de Einstein

A primeira solução exata para a equação de Einstein foi proposta por Karl Schwarzschild na
chamada Métrica de
Schwarzschild, e é a solução para o caso de uma massa esférica estacionária,
isto é, sem rotação da massa. Esta foi também a primeira solução que descreve um
buraco negro.

Soluções da equação de Einstein são obtidas a partir de uma determinada
métrica. Propor uma métrica correta é uma parte importante e difícil do
problema. Estas são algumas das soluções conhecidas da Equação de Einstein:

Métrica de
Schwarzschild.

Métrica de Kerr,
que descreve o caso de uma massa girante esférica.

Métrica
de Reissner-Nordstrom, para o caso de uma métrica esférica com carga
elétrica.

Métrica de
Kerr-Newman, para o caso de um massa girante com carga elétrica.

Métrica
de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), usada em cosmologia como modelo de um
universo em expansão.

Métrica
de Gödel (FRW), usada em cosmologia como modelo de um universo em rotação.

Métrica
de ondas-pp que descreve vários tipos de ondas gravitacionais.

As soluções (1), (2), (3) e (4) descrevem buracos
negros.

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Referências

Museu de Sobral no Ceará[1].

Brasileiros de Sobral no Local da comprovação do desvio da luz pela massa do
sol (como previsto nos calculos matematicos de Einstein) fizeram um museu que é
visitado anualmente por milhares de turistas.

Buracos Negros [2] página em inglês.

Laurent Baulieu ; Introduction à la relativité générale, curso de
introdução ministrado na l'Ecole Polytechnique por um pesquisador do
Laboratoire de Physique Théorique des Hautes Energies de l'université Paris
VI, especialista na teoria quântica do campo. (Fichier PostScript - 53 pages.)

Luc Blanchet ; Introduction à la relativité générale (I), curso de
introdução ministrado na École de Gif-sur-Yvette em 2000 por um pesquisador do
Instituto de Astrofísica de Paris (Meudon), especialista na teoria de
Einstein. (15 transparências no format jpeg).

Luc Blanchet ; Introduction à la relativité générale (II),
continuação do precedente. (75 transparents au format jpeg).

Ruth Durrer ; Relativité générale, cours approfondi donné aux
étudiants de second ciclo da Universidade de Genebra (Suíça) por uma
professora do Departemento de Física Teórica. (Fichier Postscript - 159
pages).

Gerard 't Hooft ; Introduction to general relativity, cours
d'introduction donné au Caput College en 1998 par le prix Nobel 1999,
chercheur à l'Institute for Theoretical Physics, Utrecht University (Pays-Bas)
(Fichier Postscript - 68 pages).

Sean M. Carroll ; Lecture notes on
general relativity, cours approfondi donné en 1997 par un membre de
l'Institute for Theoretical Physics, University of California at Santa Barbara
(USA) (Fichiers Postscript et pdf - 238 pages)

Theodore A. Jacobson ; A
spacetime primer, notes de cours d'un professeur du Department of
Physics, University of Maryland (USA) (Fichier Postscript - 42 pages).

Campos de
estudo da Física
Acústica | Electromagnetismo | Ondulatória | Óptica | Termodinâmica

Mecânica: Clássica |
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